Das Übertragungsmatrizenverfahren (ÜM-Verfahren) ist ein Berechnungsverfahren, das sich insbesondere für strangförmige Strukturen eignet. Die Gesamtstruktur wird dabei in mechanisch möglichst einfach beschreibbare Teilstücke zerlegt. Für jede dieser Teilstrukturen werden dann Übertragungsmatrizen formuliert, die alle Systeminformationen hinsichtlich Geometrie und Materialeigenschaften enthalten.
Konventionelles Verfahren
Bei der am häufigsten angewandten Erscheinungsform des ÜM-Verfahrens wird der
Zustandsvektor am Ende einer Teilstruktur durch Multiplikation der Übertragungsmatrix
mit dem Zustandsvektor vom Anfang dieser Teilstruktur ermittelt.
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Anmerkung: Ein Zustandvektor ist im Grunde genommen ein Tupel, das Schnittkraft- und Verschiebungsgrößen enthält. Diese Größen beschreiben einen strukturmechanischen Zustand eindeutig, daher der Begriff Zustandsgrößen. Die Begriffe Anfang und Ende beziehen sich auf die Axialkomponente des Koordinatensystems, in dem die Übertragungsmatrix formuliert wurde.
Mit der oben beschriebenen Methode (Formel 1) läßt sich so über viele Abschnitte hinweg ein bekannter Zustand übertragen. Dies geschieht durch schrittweise Berechnung der Zustände oder durch rekursives Einsetzen (a), was einer Aufmultiplikation der Übertragungsmatrizen gleich kommt (b), Formel 2.
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In der Praxis wird aber kaum ein vollständiger Zustandsvektor bekannt sein. Stattdessen liegen an verschiedenen Stellen der Struktur zusätzliche Informationen über Kräfte und Verschiebungen als Rand- und Übergangsbedingungen vor. In der Regel lassen sich die gesamten Systeminformationen jedoch auf ein lösbares Gleichungssystem zurückführen.
Der Vorteil des ÜM-Verfahrens besteht darin, daß die Dimension des zu lösenden Gleichungssystems nicht durch die Gesamtgröße des Systems bestimmt wird, sondern der Dimension der Übertragungsmatrix entspricht. Diese hängt wiederum von dem mechanischen Modell (Balken, Platte, 3D-Kontinuum ...) ab.
Der Nachteil des Verfahrens besteht darin, daß durch häufiges Aufmultiplizieren von Übertragungsmatrizen, insbesondere bei gleichen Matrizen, schnell numerische Probleme auftreten. Darüber hinaus läßt die rekursive Vorgehensweise keine Beschreibung unendlicher Systeme zu.
Behandlung unendlicher Strukturen
Diese Nachteile lassen sich für sehr lange Strukturen umgehen, sofern man sie als
unendlich lang betrachten kann und sie aus sich ständig wiederholenden Teilstrukturen
bestehen.
Die Zustandsvektoren lassen sich nämlich auch als Summe der Eigenvektoren der Übertragungsmatrix multipliziert mit dazugehörigen Gewichtungsfaktoren ausdrücken. Während die Eigenwerte und Eigenvektoren direkt aus der Übertragungsmatrix berechnet werden können, werden die Gewichtungsfaktoren aus den Randbedingungen bestimmt.
Die Eigenwerte verhalten sich stets paarweise reziprok und sind je zur Hälfte größer bzw. kleiner eins. Dies gilt auch als Ausdruck für die Reversibilität der Übertragungsmatrizen.
Die Eigenvektoren die zu Eigenwerten größer eins gehören beschreiben dann aufklingende Zustände. Umgekehrt beschreiben die Eigenvektoren die zu Eigenwerten kleiner eins gehören abklingende Zustände.
Bei einem unendlich langen System, in das an einer Stelle eine Last eingeleitet wird ergeben sich links und rechts des Kraftangriffs kontinuierlich abklingende Zustände. In einem Koordinatensystem, dessen Axialkomponente von links nach rechts verläuft werden die Zustandsvektoren daher im Bereich neg. Unendlich bis 0 nur durch aufklingende Zustandsvektoren beschrieben. Umgekehrt kommen im Intervall 0 bis pos. Unendlich ausschließlich abklingende Zustandsvektoren zum Ansatz.